\begin{equation}\tag{$P_\varepsilon$}

\left\{ \begin{array}{ll}

    -\varepsilon^{p} \Delta_p u + V(x)u^{p-1} = h(u), \ \text{ em \:} \R^N, \\

    u > 0  \text{\: em \:} \mathbb{R}^N, \ u \in W^{1,p} (\mathbb{R}^N),

\end{array}

\right.

\end{equation}

onde $\varepsilon > 0$ é um parâmetro positivo, $2 \leq p < N$, $\Delta_p u = \text{div}(|\Grad u|^{p-2} \Grad u)$ denota o operador p-Laplaciano, $\ h:\R \conv \R$ é uma função contínua verificando algumas condições e $V:\R^{N} \rightarrow \mathbb{R}$ é uma função de classe $C^2$ que pertence a duas classes de potenciais. O nosso estudo está dividido em duas partes: na primeira, mostramos os mesmos resultados obtidos por (Alves, 2015) para $p\geq 2$, estabelecendo a existência de solução positiva para o problema (\ref{P}) quando $h$ tem crescimento subcrítico; na segunda, mostramos a existência de solução positiva considerando $h$ com crescimento crítico. As principais ferramentas utilizadas são os Métodos Variacionais, Teorema do Passo da Montanha, Princípio de Concentração de Compacidade devido a Lions e o Método de Penalização de Del Pino e Felmer.