Banca de QUALIFICAÇÃO: IVANILDO FREIRE PEREIRA

Uma banca de QUALIFICAÇÃO de MESTRADO foi cadastrada pelo programa.
DISCENTE: IVANILDO FREIRE PEREIRA
DATA: 13/06/2013
HORA: 16:00
LOCAL: Sala de Seminários de Matemática
TÍTULO:

Parâmetro de regularização em problemas inversos

PALAVRAS-CHAVES:

Problemas inversos; Tykhonov; Regularização; Radón

PÁGINAS: 60
GRANDE ÁREA: Ciências Exatas e da Terra
ÁREA: Matemática
SUBÁREA: Matemática Aplicada
ESPECIALIDADE: Análise Numérica
RESUMO:

Problemas inversos, usualmente recaem em resolver alguma equação do tipo f(x) = b, onde cada equação f_i(x) = b_i  pode ser   pensada como uma medida de um dado x a ser recuperado. Usualmente são mal postos, no sentido de corresponderem a equações que podem não ter solução exata, podem ainda ter  muitas soluções,  ou ainda, o que é o mais comum, ter soluções muito instáveis a ruídos na obtenção de b. Há várias formas de “regularizar” a obtenção de soluções de tais problemas e a mais “popular” seria a de Tykhonov, que corresponde a:

 

                               Minimizar  ||f(x) – b||² + l ||L(x – x₀) ||²       (I)

 

A regularização pretendida corresponde a se escolher o operador l, de tal forma que o problema I tenha soluções estáveis com perturbações em b e que aproximem soluções do problema de mínimos quadrados usual, no caso de se fazer l  0.   O primeiro termo de (I) representa o ajuste aos dados e o segundo termo penaliza a solução de forma a regularizar o problema e produzir uma solução estável a ruídos.  Se l = 0, isto significa que estamos procurando  uma solução de quadrados mínimos para o problema, o  que usualmente é insuficiente para problemas mal postos. O termo de regularização adicionado  introduz um viés na solução ao penalizar o ajuste com um termo adicional.   Se L for a identidade, por exemplo, isto significa que estamos apostando que a solução estaria relativamente próxima de x₀. Se L for o operador gradiente, estamos apostando que a solução x é razoavelmente suave.  Nas aplicações, L usualmente é escolhido como um operador adaptado ao problema estudado e de forma se valer de  informações a priori disponíveis sobre as soluções  procuradas.

 

A escolha do parâmetro l > 0 é crucial neste métodos, pelo fato que se l é excessivo, isto tende a  enfraquecer  excessivamente o ajuste  aos dados, induzindo um  ajuste da solução  à   x₀.  Se l for pequeno demais a regularização pretendida acaba não acontecendo e a solução do problema (I)  usualmente acaba ficando muito instável e contaminada por ruídos. Há várias técnicas disponíveis na literatura para tal escolha, sobretudo se f  é uma função linear f(x) = Ax. O objetivo da dissertação é o de estudar algumas destas técnicas de ajuste do parâmetro l no caso de operadores discretizados,  vale dizer, x no  Rⁿ.  Em especial, destacamos os métodos de ajuste do parâmetro l   reconhecidos na literatura como L-curve, GCV e método da discrepância, e objetiva-se   comparar estes métodos em testes feitos com a transformada de Radon e tendo como regularizador um operador de derivada de primeira ordem.  Os resultados dos testes realizados revelam  pontos interessantes na relação entre os diferentes estimadores para o parãmetro de regularização e que sugerem  um aprofundamento teórico além do escopo desta dissertação.

MEMBROS DA BANCA:
Presidente - 347177 - ROBERTO HUGO BIELSCHOWSKY
Interno - 1958710 - EDGAR SILVA PEREIRA
Interno - 1703737 - NIR COHEN
Externo ao Programa - 349684 - WALTER EUGENIO DE MEDEIROS