Banca de QUALIFICAÇÃO: ELVIS NERIS DE MEDEIROS

Uma banca de QUALIFICAÇÃO de MESTRADO foi cadastrada pelo programa.
DISCENTE: ELVIS NERIS DE MEDEIROS
DATA: 17/10/2013
HORA: 15:00
LOCAL: CCET sala de Seminários de Estatística
TÍTULO:

GMRES com pré-condicionadores

PALAVRAS-CHAVES:

Subespaços de Krylov, GMRES, Precondicionamento

PÁGINAS: 34
GRANDE ÁREA: Ciências Exatas e da Terra
ÁREA: Matemática
SUBÁREA: Matemática Aplicada
ESPECIALIDADE: Análise Numérica
RESUMO:

Neste trabalho estudamos o problema linear Ax = b, onde A é uma matriz n × n
e b um vetor no Rn, usando o método do método do Res´ıduo M´ınimo Generalizado
Generalyzed Minimum REsidual ou GMRES. O GMRES é um método de projeção em
subespaços do Krylov, também chamado métodos de Krylov. O GMRES minimiza o
resíduo nesses subespaços de maneira que resolve um problema de quadrados mínimos
em cada iteração. Esse método foi apresentado em 1986 por [3] como uma algoritmo
para a solução de um sistema linear Ax = b podendo ser aplicado a matrizes de grande
porte e não simétricas. Apesar de possuir convergência garantida em n iterações em
aritmética exata, cada passo do GMRES introduz um novo vetor no subespa¸ co de Kry-
lov associado de maneira que o custo computacional cresce linearmente. Desse modo
apresenta-se um algoritmo com recome¸cos a cada m passos chamado de GMRES(m).
Essa variante funciona aplicando-se o método do GMRES com um número determinado
(m) de passos, onde ao fim dessas iterações descarta-se esse subespaço e reinicia-se um
novo ciclo aproveitando o último residuo para a criação do novo subespaço de Krylov
e tomando o chute inicial como sendo a última aproximação para a solução do sistema
linear do ciclo anterior. Nesse caso a convergência não é mais garantida como no caso
do GMRES, e ainda pode haver o problema de estagnação, quando os subespaços de
Krylov vão se tornando linearmente dependentes. Uma das formas de se contornar
esse problema está no uso de precondicionadores no sistema inicial Ax = b, passando
a um sistema equivalente do tipo M−1Ax = M−1b onde a matriz M é chamada de
precondicionador e tem o papel de facilitar a solução do sistema inicial. A escolha
de precondicionadores é uma área de pesquisa que remete ao conhecimento específico
do problema a ser resolvido, sendo necessário a definição a priori de diversos termos e
condições do problema, ou paralelamente busca-se também o uso de precondicionadores
“gerais”chamados de algébricos por se basearem puramente na estrutura da matriz dos
coeficientes A. Neste trabalho buscamos estudar as estratégias de precondicionamento
no método do GMRES(m). Apresentamos também uma nova estratégia híbrida que
usa 3 tipos de precondicionadores de forma adaptativa. Finalmente implementamos
a nova estratégia de precondicionadores pro método Newton-GMRES na resolução de
sistemas não lineares F(x) =0.

MEMBROS DA BANCA:
Presidente - 1679134 - JULIA VICTORIA TOLEDO BENAVIDES
Interno - 347177 - ROBERTO HUGO BIELSCHOWSKY
Externo ao Programa - 1525867 - VIVIANE KLEIN