Neste trabalho  abordamos o estudo das desigualdades elementares e suas aplicações. Tratamos os conceitos de médias  e  as desigualdades entres as médias aritméticas, geométricas, harmônicas e quadráticas. Também tratamos as desigualdades de  Bernoulli, Jensen, Cauchy-Schwarz, Chebyshev, Minkowski, entre muitas outras. Também são tratadas algumas desigualdades na geométricas e trigonométricas. Aplicações; utilizamos as desigualdades clássicas para resolver problemas algébricos, analíticos, geométricos e problemas de otimização.