Comportamento livre de escala nas sequências de hailstone usando o mapa de Collatz
avalanche, sistema complexo, lei de potência, movimento browniano, sequências de granizo
A conjectura de Collatz, possivelmente o problema mais elementar na matemática ainda não resolvido, afirma
que para todos os inteiros positivos $n$, o mapa $n\mapsto n/2$ ($n$ par) e $n \mapsto 3n+1$ ($n$ ímpar) atinge 1 após um número finito de iterações. As órbitas do mapa de Collatz que aqui consideramos, também conhecidas como sequências de granizo, foram observadas do ponto de vista se apresentam comportamento invariante de escala, em analogia com certos processos observados em sistemas físicos reais. Desenvolvemos uma maneira eficiente de gerar órbitas para $n$'s extremamente grandes (por exemplo, maior do que $n \approx 10^{3,000}$), permitindo analisar estatisticamente sequências muito longas. Com essa maneira eficiente, encontramos evidência muito forte de uma lei de potência sem escala para o mapa de Collatz. Derivamos analiticamente os expoentes de escala, apresentando excelente concordância com as estimativas numéricas. As sequências sem escala vistas na dinâmica de Collatz são consistentes com o Movimento Browniano Geométrico com \textit{Drift}, que é compatível com a validade da conjectura de Collatz. Nossos resultados levam a outra conjectura (concebivelmente testável por meio de simulações numéricas diretas, embora demoradas): dado uma inicial $n$, o número médio de iterações necessárias para chegar a $1$ é proporcional, para a ordem mais baixa, a $log[n]$.