Estrutura analítica complexa das distribuições estáveis de Lévy
Distribuição estável de Lévy, Caminhadas aleatórias, Sistemas Complexos
A quase onipresente distribuição α-estável de Lévy não tem uma expressão de forma fechada geral em termos de funções elementares – os casos Gaussiana e Cauchy são exceções notáveis. Para melhor entender este dilema de quase 80 anos, nós estudamos a continuação analítica complexa pα (z), z ∈ C , da distribuição α-estável de Lévy pα (x), x ∈ R, parametrizado por 0 < α ≤ 2. Primeiramente, estendemos resultados conhecidos mas intricados e damos uma nova prova de que pα (z) é holomórfica no plano complexo inteiro para 1 < α ≤ 2, enquanto que pα (z) não é nem mesmo meromórfica em C para 0 < α < 1. Em seguida, revelamos a estrutura analítica complexa completa de pα (z) usando a técnica domains coloring. Finalmente, motivados por essas ideias, argumentamos sobre a possível não existência de uma expressão de forma fechada em termos de funções elementares para pα (x) para um α geral.