\documentclass[a4paper,12pt]{report} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage[brazilian]{babel} \usepackage[footnotesize]{caption} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{graphicx} % pacote grafico \usepackage{wrapfig} \usepackage{times} % fonte times \usepackage{amssymb} \usepackage{amscd} \usepackage{epsfig} \usepackage{amsxtra} \usepackage{amsthm} \usepackage{color} \usepackage[mathscr]{eucal} \usepackage{indentfirst} \usepackage{amstext} \usepackage{textcomp} \usepackage{verbatim} \usepackage[all,cmtip]{xy} % diagramas xy em LaTeX \usepackage{pdfpages} \usepackage{gensymb} \usepackage{geometry} \usepackage{float} \usepackage{microtype} \usepackage{url} \usepackage{cancel} \geometry{verbose,a4paper,tmargin=30mm,bmargin=30mm,lmargin=20mm,rmargin=20mm} \pagestyle{fancy} \renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt} \renewcommand{\baselinestretch}{1.2} \newtheorem {definicao}{Definição}[section] \newtheorem {prop}{Proposição} \newtheorem {lema}{Lema} \newtheorem {teorema}{Teorema} \newtheorem {ex}{Exemplo}[section] \newtheorem {obs}{Observação}[section] \def\N{\rm l\!N\,} \newtheorem {corolario}{Corolário} \lhead{} %************************************************************************************** % OPERADORES %************************************************************************************** \DeclareMathOperator{\sen}{sen} \DeclareMathOperator{\arcsen}{arcsen} \DeclareMathOperator{\cotg}{cotg} \DeclareMathOperator{\arccotg}{arccotg} \DeclareMathOperator{\tg}{tg} \DeclareMathOperator{\arctg}{arctg} \DeclareMathOperator{\sec}{sec} \DeclareMathOperator{\cossec}{cossec} \DeclareMathOperator{\arccsc}{arccossec} %****************************************************************************** \def\bbA{{\mathbb A}} \def\bbB{{\mathbb B}} \def\bbC{{\mathbb C}} \def\bbD{{\mathbb D}} \def\bbE{{\mathbb E}} \def\bbF{{\mathbb F}} \def\bbP{{\mathbb P}} \def\bbR{{\mathbb R}} \def\bbZ{{\mathbb Z}} \def\bbN{{\mathbb N}} \def\bbQ{{\mathbb Q}} \def\bbV{{\mathbb V}} \def\TT{{\mathbb T_d}} \def\A{{\mathcal A}} \def\B{{\mathcal B}} \def\C{{\mathcal C}} \def\F{{\mathcal F}} \def\G{{\mathcal G}} \def\H{{\mathcal H}} \def\M{{\mathcal M}} \def\e{{\epsilon}} \def\l{{\lambda}} \def\o{{\omega}} \def\s{{\sigma}} \def\S{{\Sigma}} \def\O{{\Omega}} \def\dem{{{\bf Demonstração:~}}} \def\sol{{{\bf Solução:~}}} \def\prodkmu{{\displaystyle\prod^{k+1}_{i=2}}} \def\unikinf{{\displaystyle\bigcup^{\infty}_{k=1}}} \def\uniinf{{\displaystyle\bigcup^{\infty}_{n=1}}} \def\limninf{{\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}}} \def\limkinf{{\displaystyle\lim_{k\rightarrow \infty}}} \def\iqc {{\stackrel{qc}{=}}} \def\iprob {{\stackrel{\bbP}{=}}} \def\dist {{\stackrel{\bbD}{\rightarrow}}} \def\prob {{\stackrel{\bbP}{\rightarrow}}} \def\qc {{\stackrel{qc}{\rightarrow}}} \def\equi{{\Leftrightarrow}} \def\tend{{\rightarrow}} \def\imp{{\Rightarrow}} \def\coak{{\bbP(A_k=B_k \vert D_{k-1})}} \def\coan{{\bbP(A_n=B_n \vert D_{n-1})}} \def\coa{{\bbP(A_1=B_1 \vert Do=d)}} \def\e{{\epsilon}} \def\l{{\lambda}} \def\o{{\omega}} \def\s{{\sigma}} \def\S{{\Sigma}} \def\O{{\Omega}} \thispagestyle{empty} \title{DESIGUALDADES} \author{PEDRO COSTA DA SILVA} \begin{document} \pagestyle{empty} \thispagestyle{empty} \begin{minipage}{.13\linewidth} \begin{figure}[H] \includegraphics[scale=0.035]{ufrn1} \end{figure} \end{minipage} \begin{minipage}{.67\linewidth} \centering \bf{{\large }UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE\\ CENTRO CIÊNCIA EXATA E DA TERRA\\ DEPARTAMENTO DE MATEMÁICA MESTRADO PROFISSIONAL\\ EM MATEMÁICA EM REDE NACIONAL~--~PROFMAT} \end{minipage} \begin{minipage}{.2\linewidth} \begin{figure}[H] \centering \includegraphics[scale=0.7]{profmat1} \end{figure} \end{minipage} \begin{center} \vspace{3cm} {\bf PEDRO COSTA DA SILVA}\\ \vspace{3cm} {\LARGE \bf As desigualdades elementares \\ e suas aplicações \\ \vspace{0.1cm}} \vspace{2cm} \vspace{0,cm} \begin{center} {\sf {Orientador:}} \end{center} \begin{center} {\bf{\textsf{Prof. Dr. Carlos Alexandre Gomes }}}\vspace{0.1cm} \end{center} \end{center} \begin{center} \vspace{6cm} Natal/RN - 2019\\ \thispagestyle{empty} \end{center} \vspace{2,0cm} \vspace{4cm} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\bf PEDRO COSTA DA SILVA}\vspace{6cm}\\ {\Huge \bf As desigualdades elementares \\ e suas aplicações }\vspace{6,0cm}\\ \end{center} \begin{flushright} \begin{minipage}[t]{8cm} \hspace{1,0cm}Dissertação apresentada ao Corpo Docente do Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional - PROFMAT -CCET - UFRN, como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Matemática.\vspace{0,2cm}\\ Orientador:\vspace{0,2cm}\\ Profº. Dr. Carlos A. Gomes \end{minipage} \end{flushright} \vspace{1,6cm} \begin{center} \vspace{0,1cm} Natal/RN - 2019\\ \thispagestyle{empty} \end{center} \thispagestyle{empty} \vspace{2,0cm} \begin{center} {\bf UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE\\ CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA\\ DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA \\ MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL - PROFMAT\\ \vspace{4cm} PEDRO COSTA DA SILVA}\\ \vspace{3cm} {\Huge \bf As desigualdades elementares \\ e suas aplicações }\vspace{4cm}\\ Comissão Examinadora:\vspace{0,5cm}\\ Profª. Dr°. Carlos Alexandre Gomes (UFRN - Orientador)\\ Prof°. Dr°. Ronaldo Freire de Lima (UFRN - Membro interno)\\ Profª. Dr°. Roberto Teodoro Gurgel de Oliveira (UFRN - Membro interno)\\ Prof°. Dr°. Eurípedes Carvalho da Silva (IFCE - Membro externo)\\ \vspace{2.6cm} Natal/RN - 2019\\ \end{center} \thispagestyle{empty} \vspace{4,0cm} {\bf \Huge Agradecimentos} \vspace{2cm} Sou grato ao Eterno Deus por me conceder a oportunidade com ânimo, e força para alcançar esse objetivo. Também a minha esposa e filho, à compreensão das diversas ausências. À todos os colegas da turma, pelas críticas, sugestões e reflexões. E ao meus professores, pelo empenho de transmitir o seu conhecimento. Ao meu orientador que contribuiu para chegar a reta final. Quero completar dizendo, que essa trajetória foi composta de inúmeros desafios, e, me ajudou a perceber o maravilhoso presente a me confiado, quero contribuir dando continuidade e aplicações desse conhecimento. \vspace{1,0cm} \hspace{0,6cm} \vspace{27cm} \begin{center} {\bf \Huge Dedicatória} \end{center} \vspace{15cm} \begin{flushright} \begin{minipage}[t]{8cm} \hspace{1,0cm}Dedico este trabalho a DEUS, meu filho e a minha esposa, Noemia. \end{minipage} \end{flushright} \thispagestyle{empty} \chapter*{Resumo} \noindent \large Neste trabalho de conclusão do curso abordaresmo o estudo das desigualdades: médias aritméticas, geométricas, harmônicas, quadráticas, Bernoulli, desigualdade na geometria e outros.Tal assuntos é muito pouco abordado nos livros brasileiros, por isso, decidi escrever sobre esse tema com mais de uma demonstração dos teoremas e trazer problemas para compreender melhor as suas aplicações. O trabalho tem como objetivo ajudar os professores em seu aperfeiçoamento, alunos que participação das olimpíadas nacionais e internacionais e alunos que estão na graduação. As desigualdades, são de extrema importância para vários ramos da Matemática, tais como Álgebra, Trigonometria, Geometria e Análise, e constituem-se também ferramentas muito poderosas para a resolução de problemas de olimpíadas, demonstração de desigualdades geométricas. \vspace{2cm} \noindent {\bf PALAVRAS-CHAVE:} Desigualdades. Demonstrações. Problemas e Resoluções. \chapter*{Abstract} \noindent In the present work we are going to broach up the study of mathematical inequalities, arithmetic means, geometrics, harmonics, quadratics, Bernoulli, inequalities in the Geometry and others. Such subject is very few discussed in the Brazilian titles, for this reason I decided to write about this topic with more than one demonstration of theorems and bring up some math problems for better understanding their applications. The work aims to help teachers in their improvement, students who will participate in the national and international Math Olympic Games and university students. The mathematical inequalities are extremely important to several branches of mathematic such as: Algebra, Trigonometry, Geometry and Analysis, and are also very powerful tools for solving problems in the Math Olympics Games, demonstrating Geometric inequalities. \vspace{2cm} \noindent { \bf KEYWORDS : } Inequalities; demonstration; problems and resolutions. \listoffigures \tableofcontents \pagestyle{fancy} \chapter{Médias e Desigualdades } \section{Introdução} \begin{thebibliography}{99} %.................................................................................................. \bibitem{AN} ANDREESCU, T., ANDRICA, D., {\bf 360 Problems for Mathematical Contests}, GIL Publishing House, Zalău, 2003. \bibitem{JE} ANDREESCU T., CIRTOJAN,E V., Dospinescu G., Lascu M., {\bf Old and New Inequalities}, GIL Publishing House, 2004. \bibitem{CR} ANDREESCU, Titu; GELCA, Razvan. - {\bf Mathematical Olympiad Challenges.} New York, Birkh¨auser, 2000. \bibitem{VO} CAN, V.Q.B,Pohoat$\breve{a}$, C., {\bf Old and New inequalities, Volume 2,} GIL Publishing House, 2008. \bibitem{CV} CVETKOVSKI, Zdravko; {\bf Inequalities - Theorems, Techniques and Selected Problems.} editora Springer-Verlag Berlin Heidelberg, ano 2012. \bibitem{Bartle} BARTLE, Robert G.; {\bf Introduction to Real Analysis.} editora Willey, ano 2011. \bibitem{IZ} DOLCE, Osvaldo, POMPEO, J. 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